Espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. Las operaciones que podemos realizar entre ellos son: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar,el producto punto, el producto vectorial y el triple preduco escalar con algunas restricciones naturales como el cierre de estas operaciones, la asociatividad de estas y la combinación de estas operaciones, siguiendo, llegamos a la descripción de una estructura matemática llamada espacio vectorial.

Definición formal
Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos), en el que llamaremos por:
0 (cero) al elemento nulo.
1 (uno) al elemento unidad.
Un conjunto V dotado de una ley de composición interna (+), (suma de vectores), y una ley de composición externa (·), (producto por un escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y solo si:
V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composición interna (+), (suma de vectores).
Respecto a su ley de composición externa (·), (producto por un escalar), se cumple:

Campo vectorial

En matemática un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.
En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.

Anillo

Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna y , la terna ordenada (A , , ) tiene estructura de Anillo si y solo si

a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A

b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si

c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .
Es decir , /

d) es conmutativa. Es decir , : a, b A

Estas 4 propiedades muestran que ( A , ) es un grupo abeliano.

e) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A (a b) c = a ( b c)

Esta propiedad muestra que ( A , ) es un semigrupo.

f) distribuye doblemente sobre . Es decir, , , : a, b, c A
a (b c ) = ( a b ) (a c ) y (b c ) a = (b a ) ( c a )

Resumiendo podemos decir que:

(A , , ) es un Anillo sii (A , ) es un grupo abeliano ; ( A , ) es un semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera.

DEMOSTRACION MATRIZ DE ROTACIO EJE Y